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摘 要:《普通高中数学课程标准(实验)》的基本理念指出:学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式. 这些方式有助于发挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. 而数学实验为学生提供了主体参与、积极探索、大胆实践、勇于创新的学习机会,运用数学实验开展教学是提高数学课堂效率的有效途径.

关 键 词 :数学实验;课堂教学

何为数学实验教学

数学实验是指为获得某种数学理论,检验某种数学思想,实验者运用一定的物质手段,在数学思维活动的帮助下,在特定的实验环境中所进行的探索、研究活动. 简言之,数学实验是为了探究数学知识、检验数学结论(或假设)而进行的某种操作和思维活动.

数学实验教学则是指教师根据数学思想发展脉络,充分利用实验手段尤其是运用现代教育技术,创设数学教学情景,设计系列问题增加辅助环节,引导学生通过操作、实践、试验,探索数学定理的证明、数学问题的解决,让学生亲自体验数学建构的过程.


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开展数学实验教学的背景

传统的数学教学常常把数学过分形式化,忽视了探索数学知识形成过程的实践活动,制约了学生的发展. 数学实验教学是再现数学发现过程的有效途径,通过数学实验,可以创设学生自主学习的问题情境,打破沉寂的课堂教学氛围,激发学生的探索精神,使学生亲历数学知识的建构过程,逐步掌握认识事物、发现真理的方式方法,变被动的接受学习为主动建构的过程,充分发挥学生的主体地位. 因此数学实验教学是符合新课程要求的新的教学模式.

开展数学实验教学的步骤

数学实验教学模式的基本思路是:从问题情境(实际问题或数学问题)出发,学生在教师的指导下,设计研究步骤,进行探索性实验,发现规律、提出猜想、进行证明或验证. 根据这一思路,教学设计一般包含以下五个步骤:

(一)创设情境. 创设情境是数学实验教学过程的前提和条件,其目的是为学生创设思维场景,激发学生的学习兴趣. 问题情境的创设要精心设计,要有助于唤起学生的积极思维.

(二)活动与实验. 这是这种教学模式的主体部分和核心环节. 教师根据具体情况组织适当的活动和实验;数学活动形式可根据具体情况而定,最好是以2-4人为一组的小组形式进行,也可以是个人探索,或全班进行. 这一环节对创设情境和提出猜想两大环节起承上启下的作用.

(三)讨论与交流. 这是开展数学实验必不可少的环节,也是培养合作精神、进行数学交流的重要环节. 让学生积极主动地参与到数学实验活动中去,对知识的掌握,思维能力的发展,学业成绩的提高以及学习兴趣、态度、意志品质都具有积极的意义.


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(四)归纳与猜想. 归纳与猜想这一环节和活动与实验、讨论与交流密不可分,常常相互交融在一起,有时甚至是先提出猜想,再通过实验验证. 提出猜想是数学实验过程中的重要环节,是实验的 阶段;根据实验观察到的现象进行数据分析,寻找规律,通过合情推理、直觉猜想,得到结论是数学实验的教学目标实现程度的体现,是实验能否成功的关键环节.

(五)验证与数学化. 提出猜想得出结论,并不代表实验结束,还需要验证,通常
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有实验法、演绎法和反例法.

数学实验教学作用与举例

(一)通过数学实验教学能化抽象为具体,让学生经历知识的产生过程

在传统教学模式下,数学教学往往过分强调形式化的逻辑推导和形式化的结果,而对数学发现过程的展示和数学直观性的背景注意很少,从而给学生数学学习带来困难,导致学生越来越害怕学习数学,使学生丧失了学习数学的兴趣. 而数学实验教学通过学生的动手操作、观察比较、体验数学的直观性,给学生创造了大胆提出自己的猜想和发现的机会.

案例1 直线与平面垂直判定定理的探究

实验用品:一张三角形的纸片.

实验步骤:

①过三角形的顶点A翻折纸片,得到折痕AD(如图1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)

图1

图2

②提出问题:

Ⅰ. 折痕AD与桌面垂直吗?

Ⅱ. 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?

Ⅲ. 如果不过顶点A,有没有其他的翻折方法可以保证翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)使得折痕与桌面所在平面垂直?学生翻折出了如下的情形(图3),

图3

讨论与交流:

①图2、图3的折痕AD、DE是如何得到的?(学生:是通过翻折DB与DC重合得到的)

②图2、3翻折后,都能使折痕与桌面所在的平面垂直,那么两者必定存在共同的本质特征,你认为两者共同的特征是什么?(学生:折痕都是垂直于DB与DC)

猜想归纳:然后教师引导学生通过这两个特例的类比,归纳出两种情形的共同本质特征. 进一步,让学生概括直线与平面垂直的判定定理.

评析:由于新课程中必修2中不要求严格证明直线与平面垂直的判定定理,只要求直观感知、操作确认,注重合情推理,因此实验的重点是判定定理的探究上. 通过以上实验,让学生在观察、类比和反思中,较快地对这个抽象的数学定理有了直观、感性的认识.

(二)通过数学实验教学,能有效地突破教学难点

许多的数学规则具有严谨性和抽象性,不容易理解和掌握. 在数学规则的学习中,可以根据情况创设数学实验,通过学生的动手操作来发现规则,理解规则,掌握规则,会取得较好的教学效果.

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案例2 零点存在性的判断

因为f(a)f(b)<0且图象在区间[a,b]上连续不断,是函数f(x)在区间[a,b]上有零点的充分而非必要条件,学生在这点的理解比较困难. 实验设计:给学生一条直线和一条细线,并记细线的两个端点为A和B,让学生动手,观察在什么样的情况下一定能够保证这条细线和给定的直线一定有交点?

图4

学生可以发现当点A和B在直线的两侧时一定能满足题意,而当点A和B位于直线的同侧时,有可能有交点,也可能没有交点,故不一定有交点了. 引导学生从数的角度来分析得到f(a)f(b)<0的结论.

教师继续问,在刚才的情况下(A和B在直线的两侧时)细线与给定直线已经有交点了. 请问你能设计出方案使得它们没有交点吗?

学生会有两种方案:

①将点A和B移到直线的同侧(进一步说明了f(a)f(b)<0的必要性);

②把细线剪断(说明函数图象必须是连续的).

通过上述探究,让学生自己概括出零点存在性定理.

评析:实验的设计简单明了,通过学生的操作,让学生直观感受到了函数零点存在定理各条件的作用,从实验的解决中领悟了定理本质.学生也就自然会得出函数f(x)图象在区间[a,b]上连续不断的前提下:

若f(a)f(b)<0,则函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点;

若f(a)f(b)>0,函数f(x)在区间[a,b]上也可能有零点;

函数f(x)在区间[a,b]上有零点不一定有f(a)f(b)<0等一些结论.

(三)通过数学实验教学,有助于培养学生的发现能力与创新精神

计算机(器)模拟实验教学是数学实验教学的一种形式之一. 计算机(器)模拟实验教学指借助于计算机(器)的快速运算功能和图形处理能力,模拟再现问题情景,引导学生自主探究数学知识、检验数学结论(或假设)的教学活动.

案例3 对数运算性质的探究

1. 实验用品:计算器

2. 实验要求

(1)坐在前排的两个同学把身子转过去坐,与后排的两个同学组成一个小组;

(2)每一个小组选出一个组长,研究结束后,请他代表小组做汇报发言;

(3)自定第一、第二行中M、N的数值,用计算器计算出各列中所指出的数值.

(4)观察计算结果,提出同一列中计算结果间关系的猜想(留空).

(5)证明猜想(留空).

(6)实验心得(留空).

表中,横向M、N的数据没有给出,学生可以自由选取;纵向也是开放的,并不限制仅仅观察表中列出的项目,可以自己设立计算(观察)项目.

相互协作,填写《数学实验》:

有的小组进行了简单的组织:两人一对,一人使用计算器计算,另一人填写表格,然后交换.

汇报、交流,自我评价:

小组派代表汇报小组活动的情况,不仅汇报了数学结论发现的过程,还包括一些组织方式,如是否有分工合作;有无出现过错误?又是怎样纠正的?是否还有一些有趣的事情等等. 把所填写的表格放到视频展示台,投影到大屏幕上.

请其他小组的学生评价该小组的活动,也可以补充不同意见.

归纳小结,明确对数的运算性质如下(把底数换成a):

如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)等于logaM+logaN;②loga等于logaM-logaN;③logaMN等于NlogaM(N∈R).

评析:让学生利用计算器的对数计算功能,把繁杂的计算交给计算器完成,把学习的重心放在数据之间关系的观察、数学规律的发现上. 事实表明,计算器给了学生一个可以主动探索数学结论的工具. 学生利用它,动手、动眼、动脑,在“做数学”,成为一个实验者、研究者. 信息技术给数学课堂教学改革带来了新的活力.

开展数学实验教学要注意的问题

1. 实验的目的、方法要明确

实验的目的要明确,这包含两个层面:一个层面是指教师创设实验的目的要明确;另一个层面是指要让学生明确实验操作的目的. 学生必须知道他们在做什么,为什么要这样做. 只有学生清楚地了解实验的目的,实验活动才能够成为他们的一种自觉行为. 实验目的明确的同时,教师还要让学生明确实验操作方法.

2. 实验的过程要自主化和有创造性

让学生动手操作实验就是为了发挥学生的主体作用,通过动手操作实验,经历了对事物的认识过程和问题的探究过程,就能让学生更好地实现对数学知识的建构和对规则的理解. 如果在操作实验过程中做什么、怎么做都由教师规定,学生按教师的要求一步一步来的话,那么学生的学习仍然是被动的. 这样的活动也不利于学生的思维发展,学生的创造性潜力也难以施展了.

3. 实验的结果要内化

如果创设的数学实验始终只是停留在实际操作层面,而不能在头脑中实际地建构起相应的数学对象的话,则根本不可能发展起任何真正的数学思维. 操作试验并不能完成“主动构建”. 相对于具体操作活动而言,我们事实上更应强调实验结果的内化. 动手实验实际上就是为了更好地发展学生的数学思维,如果忽略了内化的过程,实验活动本身就会失去意义. 这也是数学实验和其他的实验最大的区别.

总之,开展数学实验教学能拓展学生的思维活动空间,使他们的思维更有深刻性和批判性. 同时,它不仅关心学习者“知道了多少”,更关心学习者“知道了什么”、“怎样知道的”. 它追求的不仅仅是解决了数学问题,更重要的是理解、发现和创造,是解决问题的数学精神和乐趣. 让我们合理运用实验教学,充分发挥其作用,倡导学生主动参与、交流、合作、探究等多种学习方式,改进学习,使学生真正成为学习的主人.

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