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摘 要：本论文由初等数学与高等数学本身的一些特性出发,讨论了初等数学和高等数学的一些联系和矛盾,它们之间联系的意义,以及如何从初等数学过渡到高等数学.

关 键 词：初等数学高等数学联系矛盾过渡

1.引言

数学专业的学生,特别是毕业后当老师的同学,一入学就发现他们面对的问题是,要学的知识好像同中学学过的一点联系也没有.由于缺乏指导,又很难明辨当前的中学教学内容和大学课程之间的联系.因此常会对大学所学课程有疑惑,甚至忽视.实际上,解决办法之一是通过掌握相当程度的高等数学知识,让初等数学与高等数学有机结合,“居高临下”,注重高等数学对初等数学的渗透,从较高层次去联系、指导和研究初等数学.

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我们所说的初等数学通常是指中学阶段所涉及的数学知识,内容包含有代数,几何,解析几何,函数与数列等内容,处理一些有限量的直观的实际问题.高等数学是大学阶段所涉及的数学知识,内容有

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2.初等数学与高等数学的矛盾和联系

2.1初等数学与高等数学的矛盾

2.1.1动与静的矛盾现象

因初等数学是用较直观的方法处理问题,从而对事物的变化规律的揭示,往往停留于相对静止的状态下去分析解决问题,而高等数学却采用极限的手段,对事物的变化规律通过对事物的动态描述而揭示,从而结果更精确.如对物理问题：已知非匀速连续运动的路径,求给定时刻的速度等.

2.1.2曲与直的矛盾现象

初等数学主要以研究“直边图形”为主,而对于不规则的曲边、曲面图形问题,就难以解决.但在高等数学中能用极限手段化曲为直,使问题初等化.如积分学中著名的求曲边梯形面积的问题,即已知y等于f（x）>0,x∈［a,b］,计算由x等于a,x等于b,y等于0,y等于f（x）所围成的曲边梯形AbBa的面积.

2.1.3有限与无限的矛盾现象

在初等数学中,由于只运用有限次代数运算,因此无法描述事物变化的无限过程.对于连续变量,初等数学只能把它作为一单位和静止的东西加以研究,无法把它看成某种连续运动所形成的结果.在高等数学中运用极限方法能把连续量看成是支点连续运动的结果,认为“无穷多个无穷小量的和”就是一个确定的量,通过极限的方法,有限与无限可以互相转化,从而实现有限与无限的最终统一.

例：求无限和1+++等++等

先求有限和S等于1+++等+等于2（1-）,然后对n取极限就成无限和S等于S等于2.另外,一个确定的数或初等函数也可以表示成无限和的形式,如：等于+++等,sinx等于x-+等+（-1）+等.

2.1.4特殊与一般的矛盾现象

从特殊至一般和从一般到特殊都是数学思考的重要方法,从初等数学到高等数学就是从特殊到一般的过渡.初等数学常有许多问题本身不能解决而需要借助高等数学解决,而高等数学是在初等数学基础上发展的,如在研究各种具有几个自由度的物理系统的运动时,为了描述这种系统的状态,需要引进一种量——向量,而这种向量的研究与由两个,三个有序的实数确定的矢量有很多相似之处,若抽象地看,后者便是前者的特殊情况.

向量应用于代数可以使问题化繁为简,化难为易.

2.1.5具体与抽象的矛盾

初等数学与高等数学的概念都是抽象的,它们是现实的量的关系的反映,都是人们通过实践活动所获得的认识.一般来说,高等数学借以抽象的基础比初等数学更广,概括面更宽,抽象的结果更深刻.高等数学能够更加接近真实地反映实际事物的量的关系,得到更精确的结果,但高等数学在建立自己的抽象概念时又往往以初等数学概念作为具体,如线性空间这抽象的概念是集合的抽象,群、环等是实数集的抽象.

2.2初等数学与高等数学的联系

2.2.1高等数学与初等数学的联系之一是高等数学对初等数学理论上的支持,即初等数学中一些无法阐释清楚的理论问题,必须利用高等数学的知识才能解决.

2.2.2高等数学与初等数学的联系之二是高等数学也可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据.

例如,数学证明的常用方法,数学归纳法,只讲怎样运用数学归纳法而避而不谈数学归纳法原理的证明,中学数学教材这样处理是考虑到中学生的知识水平、年龄特征和中学数学的教学目的.数学归纳法的合理性,是由自然数的归纳法公理或最小数原理所保证的,其应用的具体步骤,也就是由归纳公理所提供的,由该公理还可以演变出各种形式的归纳证明方法：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向归纳法、无穷递降归纳法,用这些方法可以解决用其他数学方法难于处理的许多问题,具体实例在此从略.

2.2.3高等数学与初等数学的联系之三是高等数学对初等数学的学习和教学具有指导性作用.

例如：用初等数学的方法研究函数的增减性、凹凸性、求极值最值等种种特性有很大的局限性.而在高等数学中利用极限、导数、级数等知识,可用比较完备的方法研究函数的特性.

2.2.4高等数学与初等数学的联系之四是可将一些高等数学的知识直接用来解决初等数学中的问题,从而达到简便的效果.

综上所述,初等数学与高等数学虽有一定的“矛盾”现象,但它们之间也有一定联系,高等数学是初等数学的深化,初等数学是高等数学的基础.由上述这些例子可以看到,教师仅具备初等数学的知识是远远不够的,必须学习高等数学的知识来补充自己.

3.由初等数学到高等数学的过渡

3.1教材

高中教材难度较小,且表述通俗形象.研究的多是常量的定量计算,容易理解和接受.但高等数学的深度和广度均有了较大的变化,难度也相应增大,研究的又是变量及变量之间的关系.要求有较高的理解和分析能力,课容量也明显大得多,学生一时难以适应.

3.2学习方法

中学阶段,对理解、归纳和概括的能力要求较低,学生被动学习不善于独立思考和深入钻研.通常是死记硬背公式、定理和解题方法.进入大学后,还沿用这种学习方法,习惯于照搬、套用现成的公式和计算方法.但高等数学的学习,要求勤于思考、独立钻研、善于归纳.比如极限部分内容就没有现成公式可套,而教师的教学方法也有了变化,因此学生很不适应.

3.3思维能力

高等数学必须围绕提高学生的数学思维能力而展开.数学教学主要是思维活动的教学,应该把激发学生思维活动的内容渗透于整个教材之中,将唯物辩证法的辩证统一规律贯穿于整个教学活动之中,培养学生的逻辑思维能力和动态思维能力.

3.4教学

首先要培养学生的数学能力.数学基本能力是数学教师必备的素质,高等数学因其高度的抽象性和严谨的逻辑性,而成为培养学生基本能力的极好教材,所以在高等数学教学中必须对学生数学基本能力加以培养.

4.结语

在高等数学中融入一些初等数学的知识和新方法,能够产生对陌生知识的亲切感,有利于接受新知识和方法,能够激发学生学习的积极性,以达到解决高等数学入门难的目的.在不加重学生负担的前提下,适当地介绍一些课外数学知识

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