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中等教育类有关论文范文文献,与二次函数数形结合问题相关本科毕业论文

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40;思想方法.数形结合是一种极富数学特点的信息转换是一种重要的数学思想.

在教学中,我经常发现:对某些代数,三角问题,学生常常单纯用代数,三角的方法来解,思维常易受阻,推理或

运算过程也比较复杂.经验告诉我们:当寻找解题思路发生困难时,如有可能性,不妨引导学生从数形结合的观点去思考,去探索,当学生困惑于"山重水复"时,不妨引导他们从数形结合的观点去开辟新径,当学生对某个结论感到怀疑时,不妨从数形结合的观点去加以验证,用数形结合的方法求解验证,不仅形象直观,思路明快,而且可以减少讨论,解法简捷.从而激发学生对学习数学的兴趣,提高学生的解题能力.

因而,加强数形结合是提高解题能力的一种重要的思想方法,下面本文主要通过一些典例来阐述一下"数形结合"的思想在解方程,解,证不等式,以及求最值等问题中的广泛应用,及"数形结合"的思想是如何提高解题能力的,

数中构形,直观表象,快捷,形象,信息转换:

1.利用"数形结合"求函数极值:

例1:已知:求的最小值:

分析:这个代数代数问题是求给定条件下的极值,若令:

这样计算过程较繁,如果用"数形结合"的方法把看成直线5Х﹢12У等于60上的动点P(Х,У)与原点连结成线段的长度,而这个长度的最小值恰是(0,0)到直线的距离,如图(一),这样既直观又简单.

,У)在直线5Х﹢12У-60等于0上,,

例2:求函数的最小值分析:因为

等于:可得三点:(x,1),

(0,1).(2,3)(Ⅰ)

(X,0),(0,1)(2,2)(Ⅱ)

(X,0),(0,1)(2,2)(Ⅲ)

等,象这样由两点间的距离公式可得无数组.选这无数组中任一组来求值,都要比我们用单纯的代数方法求值直观,简单.在这无数组中,哪一组更直观,更简单呢以(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)为例来尝试一下.

(Ⅰ)y等于可取得三点A(0,-2)B(4,-4),(X,1)反映在图二上,这样得出点B关于

y等于1B′(4,6)连结B″A交直线y等于1于C′则Ymax等于

(Ⅱ)y等于可得三点,A(0,3)B(4,5)C(X,0)反映在图三上,这样易得出点B关于X轴对称的B′(4,-5),连结B′A交X轴于C′.

(Ⅱ)y等于中

Ymin等于

(Ⅲ):y等于

可得三点,A(0,-3),B(4,5)C(X,0).反映在图四上连结AB交X轴于C′则:y等于

由以上三例可知选第III组更直观,更简单,其规律是选两定点应在动点所在直线的异侧.

3求f(x)等于-│的最大值.

:f(x)等于-│

等于可得图如下:三点A(1,2),B(2,3),C(x,o)连接CB,CA,AB,直线AB交X轴于C,根据三角形两边之差不大于第三边,,当动点C与C重合时有极大值,

fmax(X)等于,

,也就是求极大值,两定点在动点所在直线的同侧,求极小值,两定点在动点所在直线的异侧.

2.利用数形结合的思想解答不等式问题数形结合便于打开思路,从而培养学生的分析问题和解决问题的能力.

①数形结合解不等式:

例1:解不等式:

解:这可以理解为数轴上到2的距离小于到-3的距离的那些点.结合数轴可知:此不等式的解为:x

例2:解不等式组2cosx-1>,0

tanx-1

解:不等式组可变形为:cosx>,

tanx-1

在单位圆中用弧线画出满足条件的角的范围,找出其交集,得不等式组的解为:

例3:解不等式:

解:原不等式可变形为:,在同一坐标

系中作出函数y等于和y等于x+│x-2│的图象.解方程得:x1等于—1,x2等于,由图象知原不等式的解集为

例4:当a变化时,解不等式.

设:y1等于,y2等于,函数y1等于的图像是以(a,0)为端点,斜率为的向上两组平行射线.函数y2等于的图像是以(0,2)为端点,斜率为的向下的两条射线.

本篇论文出处:http://www.sxsky.net/xie/070270491.html

等于,解得:x1等于,x2等于,由图像可知:

(1)当或时,原不等式无解,

(2)当-2<,a<,2时,原不等式的解为:x(-1,+1),

例5:解不等式,

解:设y1等于,y2等于,函数y1等于的图像是中心在原点,焦点在y轴上的半个椭圆,函数y2等于的图象是斜率为1,在y轴上截距为a的直线.

解方程:等于x+a得:x等于或0,观察图象可知:或时,椭圆图象不在直线上方,所以,原不等式的解为:

(2)数形结合,求不等式中参数范围:

例1:当logm1.2logn1.2m和n的大小关系和取值范围.

解:在同一坐标系中作出y等于logmx和y等于lognx的图象,且满足关系式logm1.2logn1.2

由(1)图可得:1〈m〈n,(2)图可得:0〈m〈n〈1,由(3)图可得:0〈n〈1〈m.

例2:若不等式的解为4<,x<,n,求m,n的值,

解:设y1等于,y2等于,在同一坐标系中作出它们的图象,因不等式的解为4<,x<,n所以其交点为A(4,2)和B,A(4,2)在直线y等于2mx+上,m等于,y2等于

又在直线y2等于上.等于,n等于.

例3,当x,求函数f(x)等于恒成立时a的取值范围.

解:设f(x)在[-2,2]上的最小值为g(a),则满足g(a)a的a的范围为所求.

f(x)等于

(1)当即时,如图(1)可得:时,g(a)成立的条件为:

等于等于-4a2,

(2)当-2,即a-4时,如图(2),可得:-2x2时,g(a)a成立的条件是:

a4a4

g(a)等于f(-2)等于7-2aaa

综上所述,f(x)a恒成立时,a的取值范围为a[-7,2],

以形助数,探求解题思路:

1,数形结合证明不等式,

例1:若a,b,c都是正数,求证:

证明,构造直角梯级折线ABCDEFG,如图,使AB等于FG等于a,BC等于CD等于b,DE等于EF等于c,由勾股定理得:AC等于,CE等于,EG等于,AG等于,

因为折线不短于直线,所以:AC+CE+EGAG,

即:,

例2,已知:f(x)等于,a,b为相异实数,试证:|f(a)-f(b)|<,|a-b|,

证明:构造三角形,使其三边分别为f(a),f(b)和|a-b|,令f(a)等于等于知f(a)表示平面内的点(1,a)到原点的距离,即f(a)等于|OA|,同理f(b)等于|OB|.B点坐标为(1,b),|AB|等于等于|a-b|,根据三角形的两边之差小于第三边有:||OA|-|OB||<,|AB|.|f(a)-f(b)|<,|a-b|.

3.已知,a,b+,且a+b等于1,求证,.

证明:可构造以,为直角边,以为斜边的直角三角形.由三角形两边之和大于第三边可得:,点评:联想几何模型,以形助数:使题目中的数量关系直观化,解题过程精辟简炼.

例4:已知关于x的实系数二次方程的两个实根,,,证明:1,如果||<,2,||<,2,那么2|a|<,4+b且|b|<,4.

2|a|<,4+b,且|b|<,4,那么||<,2且||<,2.

:设f(x)等于,其图像为开口向上的抛物线.

证明:(1)由||<,2,||<,2及f(x)的图像可知:必有:

f(-2)>,0即4-2a+b等于0

f(2)>,04+2a+b>,0

2|a|<,4+b

同时||<,2,||<,2|,|<,4,即:|b|<,4,

(2)由2|a|<,4+b2a<,4+bf(-2)>,0

2a>,-4-bf(2)>,0