函数有关本科论文范文,与取绝对值函数的可微性相关毕业论文前言

时间:2020-07-06 作者:admin
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[摘 要 ]探讨了数学分析中关于取绝对值函数的求导问题,提出了判断绝对值函数导数的存在性以及求导的直接法,并将此法由一元推广到多元,给出了两类特殊函数求导的公式解.


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[关 键 词 ]绝对值函数 可微性 导数 偏导数

一、前言

对于取绝对值函数的求导问题,在通常情况下,只能通过其定义求解,而下面给出的结论能够更全面、更简单的解决取绝对值函数的求导问题.

二、取绝对值的一元函数的求导问题

命题1:

若函数f(x)在区间(a,b)内可微,P0(x0)在(a,b)内,则有:

1)当f(x0)≠0时

2)当f(x0)等于0时

存在的充分且必要条件是:

取绝对值函数的可微性参考属性评定
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若f(x0)等于 0, 那么 等于0. 【1】

证明:

1) 因为f(x0)≠0,不妨设f(x0)>0,则由可微必连续的性质,

存在U(x0,δ),在U(x0,δ)内f(x)>0,从而在U(x0,δ)内,|f(x)|等于f(x)


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由导数概念的局部性可知:

即(1)式成立

2)当f(x0)等于0时

从而可知,当且仅当f`(x0)等于0时, 存在,

显然 即2)式成立.

所以命题得证.

这个命题不仅提供了判断导数存在的方法,而且还给出了导数的求解方法,我们估且称此法为直接法.下面看几个简单的例子:

例1: 已知g(x)等于|f(x)|等于|x|,求g`(x).

解: 1) 当x≠0时, f(x)等于x等于0

由命题1有:

2) 当x等于0时, f(x)等于x等于0

∵f`(x)|x等于0等于1≠0

∴g(x)在x等于0处不可导.

所以

看下面几个有关特殊函数的定理:

定理1:

如果y等于ln|x|,则 . 【2】

证明: 由y等于ln|x|可知,x≠0.

令u等于|x|, ∴y等于lnu, 由例1可知,

, 所以命题得证.

定理1’:如果y等于ln|ax|,a∈R则

读者可自行证明该定理.

由此可见,此类函数的求导结果与绝对值函数的系数没有关系.

定理2:

如果 (pφ0),则 .

所以命题得证.

例2: 已知g(x)等于|f(x)|等于|cos(x)|, 求g`(x).

解: 1) 当f(x)≠0时,

即 , k≠0,±1,±2,等

因此我们有:

2) 当f(x)等于cosx等于0时, 即

∴g(x)在 , 时不可导.

所以

例3: 求极限 , (a≠0,b≠0) 【1】

解: ,当x∈p(0,δ)时,使x≠0,sinax≠0且sinbx≠0

当x∈p(0,δ) 时,x≠0, 均存在,

因此可利用罗比塔法则:

三、取绝对值的多元函数的求导问题

命题2:

若函数f(x1,x2,等,xn)在领域D内可

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