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[学术论文]

用微积分理论证明不等式的方法

姓名:李梅

性别:女

年龄:25岁

职称:中教数学二级教师

职务:高中数学教师

工作单位:中山市华侨中学

通讯地址:广东省中山市华侨中学高中部

邮编:528400

联系:0760-310892713715680472

[中文摘 要]

用微积分理论证明不等式的方法

高中数学教师李梅

摘 要:本文总结了利用微积分理论证明不等式的10种方法:导数定义法,单调性法,极值与最大最小值法,拉格朗日中值定理法,柯西中值定理法,函数的凹凸性法,泰勒公式法,幂级数展开式法,定积分理论法,参数法.

关 键 词:不等式,导数,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式.

[英文摘 要]

Thewaystoproveinequalitieswithcalculustheory

Abstract:Inthispaper,Isumuptenmethodstoproveinequalitieswith

calculustheory:themethodwithderivative′sdefinition,themethodwithmonotoricity,themethodwithextremum,themethodwithLagrangemeanvaluetheorem,themethodwithfunction′sconcavityorconvexity,themethodwithTaylorformula,themethodwithdevelopmentofpowerseries,themethodwithdefiniteintegraltheoryandthemethodwithParameter.

Keywords:inequality,derivative,Lagrangemeanvaluetheorem,Cauchy

Meanvaluetheorem,Taylorformula.

用微积分理论证明不等式的方法

不等式本科论文如何写
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高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式,对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似.

微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式.

一、用导数定义证明不等式法

1.证明方法根据-导数定义

导数定义:设函数在点的某个邻域内有定义,若极限存在,则称函数在可导,称这极限为函数在点的导数,记作.

2.证明方法:

(1)找出,使得恰为结论中不等式的一边,(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究.

3.例

例1:设函数,其中都为实数,为正整数,已知对于一切实数,有,试证:.

分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出:.于是问题可以转化为证明.

证明:因.则.利用导数的定义得:.由于.

所以.即.

4.适用范围

用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的.

二、用可导函数的单调性证明不等式法

1.证明方法根据-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理

定理一:若函数在可导,则在内递增(递减)的充要条件是:

.

定理二:设函数在连续,在内可导,如果在内(或),那么在上严格单调增加(或严格单调减少).

定理三:设函数在内可导,若(或),则在内严格递增(或严格递减).

上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.

2.证明方法

(1),取定闭区间,

△如何构造辅助函数

①利用不等式两边之差构造辅助函数(见例2),

②利用不等式两边相同"形式"的特征构造辅助函数(见例3),

③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数(见例4).

(2)研究在上的单调性,从而证明不等式.

3.例

例2:证明不等式:.

分析:利用差式构造辅助函数,则将要证明的结论转化为要证,而,因而只要证明.

证明:令,易知在上连续,且有,由定理二可知在上严格单调增加,所以由单调性定义可知,即.因此

.

例3:求证:.

分析:不等式两边有相同的"形式"::试构造辅助函数.利用定理二与在在上的单调性证明不等式.

证明:设辅助函数.易知在上连续,且有

.则由定理二可知在上严格单调增加.由,有,得到,所以原不等式成立.

例4:证明:当时,.

分析:此不等式为幂指数函数不等式,若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数,更很难判断其在上的单调性,可对不等式两边分别取对数得到,化简得,在此基础上可利用差式构造辅助函数:

,因,因而只要证明即可.

证明:分别对不等式得两边取对数,有,化简有:

.设辅助函数,,易知在上连续,也在上连续,因,根据定理二,得在上严格单调增加,所以.又由在上连续,且,根据定理二可知在上严格单调增加,所以,即,因此,即.

4.适用范围

利用函数单调性证明不等式,不等式两边的函数必须可导,对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续,开区间内可导,且在闭区间的某端点处的值为0,然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性.

三,函数的极值与最大,最小值证明不等式法

1.证明方法根据-极值的充分条件定理

定理四