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是边缘指示函数.

定义函数的外部能量为:

(3-21)

其中:和是常量

(3-22)

(3-23)

其中:是Dirac函数,H是Heaviside函数.

因此,总的能量函数可以定义为:

(3-24)

外部能量使零水平集向对象的边缘移动,则内部能量则使水平集函数不至于严重偏离符号距离函数.

通过变分计算,得到:

(3-25)

其中:是拉普拉斯算子.因此,使上述函数最小的水平集函数满足Euler-Lagrange方程:

(3-26)

应用最陡下降法求函数最小值的过程就是如下的梯度流:

(3-27)

梯度流是水平集函数的演变方程.

在上式中,右边第二项和第三项分别对应于能量函数和的梯度流,负责将零水平集曲线向对象边缘移动.

上式中的第一项是与内部能量有关的,注意到:

(3-28)

其中:是扩散速率.如果,表明这一项所起的效果是正扩散,即使梯度减小.如果,则此时起作用的是逆扩散,从而使梯度变大.

2.2.2水平集算法的基本思想

LevelSet方法的基本思想是将平面闭合曲线隐含地表达为二维曲面函数的水平集,即具有相同函数值的点集,通过LevelSet函数曲面的进化隐含地求解曲线的运动.尽管这种转化使得问题在形式上变得复杂,但在问题的求解上带来很多优点,其最大的优点在于曲线的拓扑变化能够得到很自然的处理,而且可以获得唯一的满足条件的弱解.

第三章图像分割中的水平集方法

3.1静态图像的数学模型

3.1.1静态灰度图像的数学模型

一般来说,一幅静态灰度图像(如黑白照片)是一个定义在矩形区域内的反映现实场景的灰度变化的组合,其中显示图像内容的那个区域被称为图像的支撑集.假设图像的支撑集为,图像u的物理模型是定义在上的一个映射,即

(3.1.1-1)

其中值域V是所有灰度的集合,它包含了所有从最暗(纯黑)到最亮(纯白)的灰度.一幅图像对应了一个具体的映射规则u.

下面需要把物理模型转化为数学模型,这就需要合适地表示V,这样,(3.1.1-1)式中的u就可以被认为是一个函数而加以研究.于是,需要建立一个V和[0,1]之间所有实数的映射:亮度最低的纯黑色对应于.,亮度最高的纯白色对应于1,其他的灰度根据亮度的不同而均匀地对应于[0,1〕之间的某个实数,这是一个一一映射.借助于以下的关系

(3.1.1-2)

我们建立了图像的函数模型,即

(3.1.1-3)

该模型被称为灰度图像的连续模型.

然而,计算机只能接受和处理离散数据,一幅图像必须要在空间和灰度上都离散化才能被计算机处理,这种离散化了的图像就是数字图像.空间采样就是把图像支撑集合离散化为一些按行和列整齐排列的小方块,这些小方块被称为像素.在同一幅图像中,像素的大小是相同的.

由于每个像索都对应了图像支撑集合中的一个小方块,记作则该像素所对应的灰度值为连续模型中的区域中的灰度值的平均.即

一般而言,灰度被离散化为256个等级,它们是整数0,1,2,...,255,最黑的映射

是0,最白的映射到255,中间是灰度被均匀地划分.整个离散灰度值的集合记

为[0,1,2,---,2565]或G,则离散图像的模型就是

3.1.2静态彩色图像的数学模型

关于颜色空间的理论,涉及计算图形学,光学等多门学科的知识,我们不对其中的物理背景作具体介绍.简单说,对于自然界中的任何一种颜色.,都可以分解为三个颜色的分量,

它们分别属于红色的色度空间,绿色的色度空间和蓝色的色度空间

静态彩色图像的数学模型和静态灰度图像的数学模型有非常类似的地方,记

彩色图像的支撑集合为,则彩色图像就是从到颜色空间的一个映射,

类似于灰度图像的做法,当分别作出从到[0,1]的一映射后,可以得到

彩色图像的连续模型

而如果被空间采样,被灰度量化为[0,1,2,,--,255],我们可以得到彩

色图像的离散模型

3.2基于水平集的图像分割

3.2.1图像分割中的水平集方法基本思想

水平集图像处理的核心思想是把n维描述视为高一维(n+1)维的水平集,或者说是把n维描述视为有n维变量的水平集函数f的水平集.这样一来就把求解n维描述的演化过程转化为求解关于有n维变量的水平集函数f的演化所导致的水平集的演化过程.其要害是通过这种转化,引入了变中的相对不变:水平集函数f的水平c不变.我们把这种变中的相对不变叫做泛对称.引入了泛对称,就引入了规律,而引入了规律就能推演出水平集在此规律下依各种具体条件而演化的具体演化方程.也即是说,引进了泛对称这一规律,我们就有了从一般到特殊的演绎过程的出发点和依据.这种思想方法的实质是以关系来决定对象[7].

用数值方法计算水平集函数,需要对整幅图像的定义域中的所有网格点的水平集函数进行更新,这样,计算量消耗很大,特别是在图像比较大的情况下.其实,人们只是关心水平集函数的零水平集的演化过程,因此,如果对整个水平集函数都更新,显然有许多计算上是不需要的[6].研究人员提出了多种水平集函数演化的快速算法,最主要的是窄带法(Narrowband)[7]和快速行进法(FastMarchingMethod)[9].

窄带法的基本思想就是在曲线轮廓的周围建立一个自适应的窄带,每次演化时,只更新窄带内网格点的函数值,这样计算量就大大减少了.在演化过程中,为防止曲线上的点跨越窄带,需要存储窄带的内外边界,当曲线上的点接近内外边界时,再重新建立一条以当前曲线为中心的窄带,同时要重新初始化水平集函数,使其保持为符号距离函数[13].快速行进法考虑的是曲线演化的特殊情况.Sethian[9]提出了求解此类静态Hamilton.Jacobi方程边界值问题的快速行进法(FastMarchingMethod).

3.2.2具体算法和步骤

使用快速水平集算法进行图像分割.步骤如下:

图像预处理,

水平集算法方程建立,

利用建立的水平集算法进行图像分割,

通过一系列的方法测试分割效果.

图3.2.2-1算法步骤示意图

考虑零水平集x(t)所对应的水平集函数,则有(1-1)

对方程(4-1)两边求关于时间的偏导数,有

(1-2)

假设F为外法向方向的速度,那么,这其中因此,我们便得到基本方程式(1-3)

除此基本方程式以外,还有其它一些方程式,它们都能从方程(1-1)推导出来.基本方程式式(1-3)是水平集函数及相应的水平集在法向力F的推动下的演化方程.