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数学2006年12月16日

人力资源安排问题

一摘 要:

人力资源的安排问题是一类带有复杂约束条件的优化与规划类问题.在当代经济知识时代,人力资源已经成为生产要素中最活跃,最重要的因素.

就拿某学校承接某些项目来说,由于学历高,资深的教授等就相对稀缺,为了使得数学系每天的直接收益最大,合理的分工,适当的人力资源安排就显得尤为重要.

·我们的研究中就如何分配教员才能使得数学系获得最大的收益的问题进行了分析.

·收益值Z表示承接某项目的教员个数Xij的函数表达式,将问题转化为求解Z的最大值问题.

·这是在一定的约束条件下的线性规划的数学模型的问题.

·可以用LINGO数学软件求出

数学系教员们每天的直接收益最大为:38210.00

数学系教员们一周的直接收益最大为:195620.0

对应的教员分配一致,如下表所示:

ABCD

教授3522

副教授112102

讲师2528

助教1810

表中所示就是该数学系人力资源的最优的安排.

该模型在工农业,军事,交通运输,决策管理与规划,科学实验等领域应用广泛,具有不可比拟的优点,值得推广和使用.

关键字:

数学模型,线性规划,LINGO

二问题重述:

某学校数学系现有64名教师,其职称结构和相应的工资水平分别如表一所示:

表一:数学系的职称结构及工资情况

教授副教授讲师助教人数12251710工资/日(元)250200170110

目前,该系承接有4个项目,其中2项项目实践,需要到现场监理,分别在A地和B地,主要工作在现场完成,另外2项是理论研究,分别在C地和D地,主要工作在办公室完成.由于4个项目来源于不同客户,并且工作的难易程度不一,因此,各项目的合同对有关技术人员的报酬不同,具体情况如表2所示.表2不同项目和各种人员的报酬标准

教授副教授讲师助教收费

(元/天)

A

B

C

D1000

1500

1300

1000800

800

900

800600

700

700

700500

600

400

500为了保证项目质量,各项目中必须保证各职称人员结构符合客户的要求,具体情况如表3所示.

表3:各项目对专业技术人员结构的要求

ABCD教授副教授

讲师

助教

总计1～3

≥2

≥2

≥1

≤172～5

≥2

≥2

≥3

≤202

≥2

≥2

≥1

≤151～2

2～8

≥1

--

≤18说明:

表中"1～3"表示"大于等于1,小于等于3",其他有"～"符号的同理,

项目D,由于技术要求较高,人员配备必须是讲师以上,助教不能参加,

教授相对稀缺,而且是质量保证的关键,因此,各项目客户对教授的配备有不能少于一定数目的限制.各项目对其他职称人员也有不同的限制或要求,

各项目客户对总人数都有限制,

由于C,D两项目是在办公室完成,所以每人每天有50元的管理费开支.

收费是按人工计算的,而且4个项目总共同时最多需要的人数是17+20+15+18等于70,多于数学系现有人数64.因此需解决的问题是:如何合理的分配现有的技术力量,使数学系每天的直接收益最大并写出相应的论证报告.Max(min)Z等于

约束条件:

Xij>,等于lij

Xij>,等于hij

经过分析,我们把所研究的问题归入线性规划模型,求最大值问题.

·数学系每天的直接收益等于数学系所有教员的每天的收入减去教员的工资,再减去C,D项目中,每天的管理费开支.

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·把数学系分配给各个项目的各类型教员设为Xij,(表示第i类型的教员去接第j个项目,i代表教授,副教授,讲师或者助教,j代表项目A,B,C或者D.)因此,数学系的收益Z可以表示为关于Xij的线性表达式.所求问题便成为在各个项目的要求下(对Xij的约束条件)求Z的最大值问题.

·由于MATLAB中没有现成的线性规划数学函数,我们选用比较方便使用的LINGO软件,这样我们就可以解得收益Z的最大值,和数学系各类型的教员的分配方案.

四模型假设:

(1)数学系各类型的教员在承接项目期间没有缺勤,请假,辞职或者跳槽的现象发生.

(2)各类型的教员都没有兼任其他的职务.

(3)各个项目都不会受到客观环境的影响.比如不受到天气的原因而影响工作的进行.

(4)凡是数学系的教员不论是否被指派去A,B,C和D工作,(经过工作分配,可能有部分的教员没有被分配到A,B,C和D工作)都应该发给工资.

五符号说明:

Z————数学系每天的直接收益

Zmax————数学系每天的直接收益的最大值

xij————第i种类型的教员被分配到第j个项目的人树

(i等于1,2,3,4分别对应教授,副教授,讲师,助教,

j等于A,B,C,D分别对应四个项目)

六数学模型的建立模型的求解和分析:

设数学系的教员安排人数按照表中安排

ABCD教授x1Ax1Bx1Cx1D副教授x2Ax2Bx2Cx2D讲师x3Ax3Bx3Cx3D助教x4Ax4Bx4C

数学系各类型的教员可被分配到的工作地址如下图所示:

根据题设,数学系每天的直接收益等于

教员的总收入—C,D教员的管理费用—教员的工资额

其中包含的含义是:

·数学系的总收入最高

·数学系支付给教员的工资最低(但教员的工资题目已经设置为定值)

·办公室人员的管理费用最低

数学系的直接收入可用公式表达为:

Z等于(+(

+()+(

-12×250-15×200-17×170-10×110

在下面的约束条件下求Z的最大值

各个项目对各类型教员的要求:

根据表"各项目对专业技术人员结构的要求x1C等于2,1<,等于x1D<,等于2,

x2A>,等于2,x2B>,等于2,x2C>,等于2,2<,等于x2D<,等于8,

x3A>,等于2,x3B>,等于2,x3C>,等于2,x3D>,等于1,

x4A>,等于1,x4B>,等于3,x4C>,等于1,

,,,

根据表"数学系的职称结构及工资情况",有下面的不等式

,,,

根据题设知道数学系的总人数为:

这是一个线性规划问题,我们用LINGO数学软件可以求出结果.

LINGO程序见附录.

根据LINGO程序执行的结果可以得出数学系最大的直接收益为:

Zmax等于40160.00

此时对应的教员安排如下表:

ABCD教授3522副教授112102讲师2528助教1810

(2)以一个星期为周期,如果每个教授最多只能工作四天,每个副教授最多只能工作5天,讲师和助教每天都可以工作.此时如何合理的分配现有的技术力量,使数学系一个星期的直接收益最大并写出相应的论证报告.x1Cx1D副教授x2Ax2Bx2Cx2D讲师x3Ax3Bx3Cx3D助教x4Ax4Bx4Cx4D

则数学系一个星期的直接收益为:

教授分别被指派到A,B,C和D工作,工作4天可得到的报酬

+副教授分别被指派到A,B,C和D工作,工作5天可得到的报酬

+讲师分别被指派到A,B,C和D工作,工作7天可得到的报酬

+助教分别被指派到A,B和C工作,工作7天可得到的报酬

-教授,副教授,讲师和

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