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已知a,b,c是△ABC的三条边,比较（a+b+c）2与4（ab+bc+ca）的大小.这道题的解答可以用特殊值法.取a等于b等于c等于1,得（a+b+c）2等于9,4（ab+bc+ca）等于12,所以（a+b+c）2<4（ab+bc+ca）.将这道题稍微变形,就是：设a,b,c为△ABC的三边,求证：a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）.这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征,依据不同的思维,不同的入口结合不等式证明的不同方法,,可以得到不同的证法.并且依据已经证明的结论,还可以进行引申.

1.常规思维法 不等式的证明最基本的方法就是求差比较法,基于此,有如下的解法

证法一∵a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）

等于a2 -2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2

等于（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2

等于（a-b）22-c2+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2

等于（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）

又∵a,b,c为△ABC的三边

∴a-b+c>0 a-b-c<0 c-a+b>0

c-a-b<0 c-b+a>0 c-b-a<0

∴（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）<0

∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

利用不同的组合,然旧利用求差比较法可以得到

证法二∵ a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）

等于（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）

等于a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）

等于-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕

又∵a,b,c为△ABC的三边

∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,a+c>b,b+c>a

利用同向正则不等式可以相乘,得到

∴a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）>0

∴ -〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕<0

∴a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

2.利用分析法,结合三角形的边角关系和同向正则不等式可以相乘的性质可以得到

证法三：∵a,b,c为△ABC的三边

∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,a+c>b,b+c>a

利用同向正则不等式可以相乘,得到

a（b+c）>a2 b（a+c）>b2 c（a+b）>c2

又∵ 2（ab+bc+ca）

等于ab+ac+bc+ba+bc+ac

等于a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）>a2+b2+c2

∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

在讨论题目的证明过程中,有的同学想到了这样的证明方法：

证法四∵a,b,c为△ABC的三边

∴a-b

（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2即a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

如何写不等式一篇论文
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这种证明简明扼要,非常优秀,说明学生的思维是非常敏捷的.只是在三角形中由a-b

∴|a-b|

（a-b）+（b-c）2+（a-c）2即a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）

题目证明完成后,进一步引申,可以得到下面的命题：

已知a,b,c为△ABC的三边,求证关于x的不等式

x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集为R.

证明&#