整数相关论文题目,关于一道数学趣题的解法浅探相关硕士学位毕业论文范文

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在数学兴趣小组的活动中,顾老师给我们出了这样一道题：

题目很简单,过程稍复杂,同学们,看招：哥哥叫弟弟计算两个整数的平方和,弟弟给出答案2012. 哥哥说,错了.你能证明弟弟算错了吗?

略加思索,我就在纸上算了起来.

解：假设存在这样的两个数,它们的平方和等于2012.

因为02等于0,12等于1,22等于4,32等于9,42等于16,52等于25,62等于36,72等于49,82等于64,92等于81．

所以,一个数的平方,个位上的数只能是0,1,4,9,6,5．

又因为2012的个位是2,所以这两个数平方后个位上应该都是1或都是6．所以这两个数只能有下面6种可能：

{1}个位上都是1的两个数；{2}个位上都是9的两个数；{3}个位上是1和9的两个数；{4}个位上都是4的两个数；{5}个位上都是6的两个数；{6}个位上是4和6的两个数．

先看情况{6}：假设这两个数为10x+4和10y+6,列方程得：

（10x+4）2+（10y+6）2等于2012（x、y均为整数）．

整理,得：5（x2+y2）+2（2x+3y）等于98．

分三种情况讨论：

当x和y为一奇一偶两个数时,5（x2+y2）为奇数,方程5（x2+y2）+2（2x+3y）等于98的左边为一奇数,右边为一偶数,所以无整数解．

当x和y为两个奇数时,设x等于2m+1,y等于2n+1,代入方程5（x2+y2）+2（2x+3y）等于98,整理得：10（m2+m+n2+n）+2（2m+3n）等于39．此方程左边为一偶数,右边为一奇数,所以m、n无整数解．

当x和y为两个偶数时,同理可得,方程5（x2+y2）+2（2x+3y）等于98也无整数解．

所以,方程（10x+4）2+（10y+6）2等于2012无整数解．

同理可得,方程（10x+1）2+（10y+1）2等于2012,（10x+9）2+（10y+9）2等于2012,

（10x+1）2+（10y+9）2等于2012,（10x+4）2+（10y+4）2等于2012,（10x+6）2+（10y+6）2等于2012也无整数解．

综上所述,不存在这样的两个整数,它们的平方和等于2012,所以弟弟肯定算错了．

我作出了上面的解答. 顾老师说：“按照通常的数学思维和逻辑,这样的解法无可厚非,但总感觉复杂繁琐,我们先来看看下面一题：有没有这样的两个整数,它们的平方和等于2013,2014,2015等?”

这道题不就是要问至少还要过几年,年份数才可以分解为两个整数的平方和嘛,解答就更难了,所要证明无整数解的方程也太多了,这许多方程能不能单凭“奇数偶数”说明有无整数解,我也不敢贸然肯定．这时,顾老师提醒道：其实,我们可以换一种思路来解答这些问题：

因为452等于2025,442等于1936,322+322等于2048,322+312等于1985．我们可以借助计算器将下列等式补充完整,横线上都填整数,但等号后面必须填大于或等于2012的最小整数：

452+02等于2025．442+ ___2等于___．432+___2等于___．422+___2等于 ___．

412+___2等于___．402+___2等于___．392+___2等于___．382+___2等于___．

372+ 2等于___．362+___2等于 ___．352+___2等于___．342+___2等于__