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（江西科技学院,江西南昌330098）

摘 要：本文总结考研了数学中关于矩阵的特征值与特征向量常考题型,并给出了相关解决方法.

关 键 词：考研数学特征值特征向量矩阵对角化

矩阵的特征值与特征向量是线性代数的主要内容之一,也是考研的重点之一,出题多且分值大.关于特征值与特征向量的题型主要有：根据已知条件求特征值与特征向量,已知某个特征值与特征向量求其他特征值与特征向量或其中

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一、根据已知条件求特征值与特征向量

例1：向量α等于（a,a,等,a）,β等于（b,b,等,b）都是非零向量,且满足条件αβ等于0,记n阶矩阵A等于αβ.求（1）A；（2）矩阵A的特征值与特征向量.

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解：（1）由A等于αβ和αβ等于0有

A等于（αβ）（αβ）β等于α（βα）等于0αβ等于0.

（2）设λ是A的任一特征值,η是属于特征值λ的特征向量,即Aη等于λη,η≠0,那么Aη等于λη,因为A等于0和η≠0,所以λη等于0,从而矩阵A的特征值是λ等于0（n重根）.

不妨设向量α,β的第一个分量a≠0,b≠0,得齐次线性方程组（0E-A）x等于0的基础解系

η等于（-b,b,0,等,0）,η等于（-b,0,b,等,0）,等,η等于（-b,0,0,等b）,

于是属于矩阵A的特征值λ等于0的特征向量为

kη+kη+等+kη,k,k,等,k不全为0.

二、已知某个特征值与特征向量求其他特征值与特征向量或其中所含参数

例2：已知ξ等于11-1是矩阵A等于2-125a3-1b-2的一个特征向量,试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值.

解：由Aξ等于λξ得2-125a3-1b-211-1等于λ11-1,

即λ等于2-1-2λ等于5+a+3-λ等于-1+b+2,解得λ等于-1a等于-3b等于0.

三、根据所给式子得到隐含其中的特征值与特征向量

例3：设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量,则矩阵（PAP）属于特征值λ的特征向量是（?摇）

A.PαB.PαC.PαD.（P）α

解：A是实对称矩阵,故（PAP）等于PA（P）,由Aα等于λα知（PAP）（Pα）PAα等于λPα,故应选B.

四、根据特征值与特征向量讨论矩阵能否对角化

例4：设矩阵A等于12-3-14-31a5的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.

解：A的特征多项式为λ-1-231λ-43-1-aλ-5（λ-2）（λ-8λ+18+3a）

若λ等于2是特征方程的二重根,则有2-16+18+3a等于0,解得a等于-2.

当a等于-2时,A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A等于1-23-1-23-12-3的秩为1,故λ等于2对应两个线性无关的特征向量,A可以相似对角化.

若λ等于2不是特征方程的二重根,则λ-8λ+18+3a等于0有重根,解得a等于-.

当a等于-时,A的特征值为2,4,4,矩阵4E-A等于3-23103-12-1的秩为2,故λ等于4对应一个线性无关的特征向量,A不可以相似对角化.

纵观近几年考研真题,几乎每年都会出现关于特征值与特征向量的题目,所以熟悉与之相关的题型及解法,对于拿到这部分题目的分数尤为重要.

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