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全国2016年4月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码:02198

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵,表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选,多选或未选均无分.

1.3阶行列式中元素a21的代数余子式A21等于()

A.-2B.-1

C.-1D.2

2.设n阶可逆矩阵A,B,C满足ABC等于E,则B-1等于()

A.A-1C-1B.C-1A-1

C.ACD.CA

3.设3阶矩阵A等于,则A2的秩为()

A.0B.1

C.2D.3

4.设矩阵A等于,B等于,P1等于,P2等于,则必有()

A.P1P2A等于BB.P2P1A等于B

C.AP1P2等于BD.AP2P1等于B

5.设向量组α1,α2,α3,α4线性相关,则向量组中()

A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

6.设α1,α2,α3,α4是一个4维向量组,若已知α4可以表为α1,α2,α3,的线性组合,且表示法惟一,则向量组α1,α2,α3,α4的秩为()

A.1B.2

C.3D.4

7.设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax等于0的一个基础解系,则下列解向量组中,可以作为该方程组基础解系的是()


本文出处:http://www.sxsky.net/xie/070648112.html

A.α1,α2,α1+α2B.α1,α2,α1-α2

C.α1+α2,α2+α3,α3+α1D.α1-α2,α2-α3,α3-α1

8.设A为3阶矩阵,且等于0,则A必有一个特征值为()

A.-B.-

C.D.

9.设实对称矩阵A等于,则3元二次型f(x1,x2,x3)等于xTAx的规范形为()

A.++B.+-

C.+D.-

10.设2元二次型f(x1,x2)等于xTAx正定,则矩阵A可取为()

A.B.

C.D.

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案.错填,不填均无分.

11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1,-2,3,对应的代数余子式分别为-3,2,1,则D3等于___________.

12.已知3阶行列式等于6,则等于___________.

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13.设A等于,则A2-2A+E等于___________.

14.设A为2阶矩阵,将A的第2列的(-2)倍加到第1列得到矩阵B.若B等于,则A等于___________.


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15.设3阶矩阵A等于,则A-1等于___________.

16.设向量组a1等于(a,1,1),a2等于(1,-2,1),a3等于(1,1,-2),线性相关,则数a等于___________.

17.3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为___________.

18.已知3阶矩阵A的特征值为0,-2,3,且矩阵B与A相似,则等于___________.

19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为α1等于(1,1)T,α2等于(1,k)T,则数k等于___________.

20.二次型f(x1,x2,x3)等于(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A等于___________.

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

21.计算4阶行列式.

22.设2阶矩阵A等于,P等于,矩阵B满足关系式PB等于A*P,计算

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行列式.

23.求向量组α1等于(1,1,1,3)T,α2等于(-1,-3,5,1)T,α3等于(3,2,-1,4)T,α4等于(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组,并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.

24.设3元齐次线性方程组

(1)确定当a为何值时,方程组有非零解,

(2)当方程组有非零解时,求出它的基础解系和全部解.

25.设矩阵B等于,

(1)判定B是否可与对角矩阵相似,说明理由,

(2)若B可与对角矩阵相似,求对角矩阵∧和可逆矩阵P,使P-1BP等于∧.

26.设3元二次型f(x1,x2,x3)等于++-2x1x2-2x2x3,求正交变换x等于Py,将二次型化为标准形.

四、证明题(本大题6分)

27.设矩阵A等于,其中a1,a2,a3互不相同,证明:与A可交换的矩阵只能为对角矩阵.

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