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摘 要： 2011年广东深圳的中考数学题第23题设计了一个动点四边形周长最短的问题,由于答案给出的情况不完整,本文用分类讨论的方法对其他可能出现的情况加以讨论,给出了一般性的结论,并改进了题目的问法,使其更加科学.

关 键 词 ： 中考压轴题 设计 解法 分类讨论

2011年广东深圳的中考数学题第23题：如图1,抛物线y等于ax+bx+c（a≠0）的顶点为C（1,4）,交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为（3,0）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中,点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在,请说明理由.

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（3）略.

图1 图2

参考答案：y等于-x+2x+3（1）.

（2）存在.由y等于-x+2x+3（1）可得：E（2,3）,A（-1,0）,D（0,3）,所以直线AE的解析式为y等于x+1.

点D关于直线PQ的对称点为点E,作点F关于x轴的对称点F（0,-1）,连接EF交PQ于点G、交x轴于点H,此时D、G、H、F四点围成的四边形周长最小.

由E（2,3）,F1（0,-1）可得直线EF1的解析式为,所以G（1,1）,H（,0）,周长的小值为DF+EF等于2.+2

（注意：如果得到点G（1,-1）,点H（,0）不是正确答案.）

读毕,疑问如下：

（1）得到这个点G（1,-1）,点H（,0）错误结果的过程是分别取了D关于x轴的对称点和F关于直线PQ的对称点.那么为什么这个结果是错误的呢?同时取两点关于两条对称轴的对称点的时候该如何取?

（2）该四边形周长最短的结论未证明,若仔细考虑证明过程就会发现,该解答是基于DF是定值,而将问题转化为在x轴和直线PQ上取点G、H,使得DG+GH+HF最短.这个转化存在一个问题：DF是否会成为D、G、H、F四点所围成的四边形的对角线?如果会成为对角线,则参考答案中的答案还是最短的吗?

下面分别探讨这两个问题.

为不失一般性,提出问题：平面直角坐标系中,在第一象限有A（m,n）,B（p,q）两点,试在x轴与y轴上分别取点C、点D使得A、B、C、D四点所围成的四边形周长最小.

第一个问题：取点A关于x轴的对称点还是y轴的对称点得到的四边形周长较小?

方案一：取点A关于y轴对称点A1（-m,n）,